Question

中学 分式问题（数列？）

求1/(1×4×7)+1/(4×7×10)+1/(7×10×13)+…+1/[n(n+3)(n+6)]的值。
那个，怕看不懂还得追问比较烦，所以希望能写得详细点，如果有用到什么公式也最好把公式的推导过程写出来，不胜感激！
没人吗……？

Answer 1

1/[n(n+3)(n+6)]
=1/3[n(n+3)]-1/3[n(n+6)]
=1/6n-1/6(n+3)-1/15n+1/15(n+6)
=1/(10n)-1/[6(n+3)]+1/[15(n+6)]

1/(1×4×7)+1/(4×7×10)+1/(7×10×13)+…+1/[n(n+3)(n+6)]
=1/10(1/1+1/4+1/7+……+1/n)-1/6(1/4+1/7+……+1/(n+3))+1/15(1/7+1/10+……+1/(n+6))
因为1/15-1/6=-1/10,所以后两项刚好能和第一项对应抵消
所以剩下的为1/10*(1/1+1/4)-1/6*[1/4+1/(n+3)]+1/15*[1/(n+3)+1/(n+6)]
=1/12-1/[10(n+3)]+1/[15(n+6)]

Answer 2

1/[n(n+3)(n+6)]=(1/18)[(1/n)-2/(n+3)-1/(n+6)];你会发现拆开相加后会消去后面的项只保留第一项，因此值值剩下1/18;