Question

数学三角函数证明题，题目如下：

Answer 1

设△ABC为锐角△，证明√2<sinA+sinB+sinC≦(3/2)√3
证明：由于sinA+sinB+sinC+sin60⁰=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin[(C+60⁰)/2]cos[(C-60⁰)/2]
∵0<cos[(A-B)/2]≦1，【当A=B时cos[(A-B)/2]=cos0=1；当A≠B时cos[(A-B)/2]>0】
0<cos[(C-60⁰)/2]≦1；【当C=60⁰时cos[(C-60⁰)/2]=1；当C≠60⁰时cos[(C-60⁰)/2]>0】

∴sinA+sinB+sinC+sin60⁰≦2{sin[(A+B)/2]+sin[(C+60⁰)/2]]}
=4sin[(A+B+C+60⁰)/4]cos[A+B-C-60⁰)/4]=4sin60⁰cos[(60⁰-C)/2]≦4sin60⁰=2√3
∴sinA+sinB+sinC≦2√3-sin60⁰=(3/2)√3

又sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin(C/2)cos(C/2)
=2sin[90⁰-(C/2)cos[(A-B)/2]+2sin[90⁰-(A+B)/2]cos(C/2)
=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]+2cos[(A+B)/2]cos(C/2)
=2cos(C/2){cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]}=2cos(C/2)[2cos(A/2)cos(B/2)]
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)>√2
这是因为0⁰<A，B，C<90⁰；0⁰<A/2，B/2，C/2<45⁰； ∴√2/2<cos(A/2)，cos(B/2)，cos(C/2)<1
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)>4(√2/2)³=4(1/4)√2=√2 ；
故√2<sinA+sinB+sinC≦(3/2)√3成立。
【原题左端的2，似乎应是√2】

追问

不，原题就是2！

Answer 2

因为f(x)=sinx有f''(x)<0，所以由琴生不等式知：1/3(f(A)+f(B)+f(C))<=f((A+B+C)/3)=√3/2，所以f(A)+f(B)+f(C)<=3√3/2
由图可知x∈(0,π/2)时有f(x)>2/πx，所以f(A)+f(B)+f(C)>2/π(A+B+C)=2

追问

还没学琴生不等式，还有其他方法吗？

追答

那么这样：求出f(x)在x=π/3处的切线，就是y=x/2-π/6+√3/2，证明f(x)<=y=x/2-π/6+√3/2，然后把f(A),f(B),f(C)的不等式加起来。

Answer 3

http://www.fangshuiba.com/fangshui/product/2012-7-24/86.html

不会