Question

椭圆x^2/2+y^2=1,F为椭圆的右焦点，M为椭圆与Y轴的正半轴的焦点，问是否存在直线L交椭圆于P、Q两点，使F

椭圆x^2/2+y^2=1,F为椭圆的右焦点，M为椭圆与Y轴的正半轴的焦点，问是否存在直线L交椭圆于P、Q两点，使F为三角形MPQ的垂心，若存在，请给出L的直线方程

Answer 1

由椭圆方程易求得F,M坐标为F(1,0)，M(0,1)
设直线方程为y=kx+b，与椭圆交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
F为△MPQ垂心，则有 MF⊥PQ, PF⊥MQ
即(1-0)/(0-1)*(y2-y1)/(x2-x1)=-1, (y1-0)/(x1-1)*(y2-1)(x2-0)=-1
=> y2-y1=x2-x1, (1)
y1(y2-1)+x2(x1-1)=y1y2+x1x2-(x1+x2)=0 (2)
(1)式代入直线方程可得 y2-y1=k(x2-x1)=x2-x1 可解得k=1
(2)式代入直线方程可得
y1y2+x1x2-(x1+x2)=(x1+b)(x2+b)+x1x2-(x1+x2)
=x1x2+b(x1+x2)+b^2-(x1+x2)
=x1x2+b^2+(b-1)(x1+x2)=0 (3)
将y=x+b代入椭圆，整理可得 3x^2+4bx+2b^2-2=0
由韦达定理有 x1+x2=-4b/3, x1x2=2(b^2-1)/3
代入(3)式，可得 2(b^2-1)/3+b^2+(b-1)*(-4b/3)=0
整理，可得 b^2+4b-2=0
可解得 b=-2±√6
∴所求直线方程为 y=x-2±√6