Question

二重积分的计算

计算I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是x,下限是x^2
会的请把详细过程写下来,这题怎么变换的请详细说出!
不会的就别在这瞎写!!!!!!!!这题要用极坐标,我不会变

Answer 1

二重积分的计算方法

Answer 2

利用极坐标计算二重积分，有公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的。

I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是x,下限是x²
积分区域D即为直线y=x,和直线y=x²在区间[0，1]所围成的面积，转换为极坐标后，θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：

因为y=x²的极坐标方程为：rsinθ=r²cos²θ r=sinθ/cos²θ

因为直线y=kx和曲线y=x²的交点为(0,0),(k,k²),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos²θ],则积分I化为极坐标的积分为

I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)²+(rsinθ)²rdr
=∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos²θ])
=∫(sinθ/cos²θ)dθ(θ范围[0,π/4])
=∫(-1/cos²θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1

Answer 3

∫(x²+y²)^(-1/2)dy
=(1/x)∫(1+(y/x)²)^(-1/2)dy
=∫(1+(y/x)²)^(-1/2)d(y/x)
=ln((y/x)+根号(1+(y/x)²))+C
取上限y=x,下限y=x²,求得内积分为
[ln(1+根号(1+1))]-[ln(x+根号(1+x²))]

下面再对式子第二项求原函数，得用分部积分法
∫ln(x+根号(1+x²))
=xln(x+根号(1+x²))-∫[x/(x+根号(1+x²))]*(x+根号(1+x²))'
=xln(x+根号(1+x²))-∫[x/根号(1+x²)]
=xln(x+根号(1+x²))-根号(1+x²)
所以原积分I=
ln(1+根号2)x+根号(1+x²)-xln(x+根号(1+x²))----(0,1)
=[ln(1+根号2)+根号(1+1)-ln(1+根号(1+1))]-[0+根号(1+0)-0]
=根号2-根号1
=(根号2)-1

Answer 4