Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过原点O，交x轴与点A，其定点B的坐标为（3，-根号3）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过原点O，交x轴与点A，其定点B的坐标为（3，-根号3）

1.求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
2.在抛物线上求点P，使S△POA=2三角形AOB；
3.在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

1，其定点B的坐标为（3，-根号3）

那么我们可以把它化为顶点式就是
y=a(x-3)²-根号3
然后还有图像经过原点O，即把（0,0）代进去就得
0=a(0-3)²-根号3
解得a=根号3/9
于是函数方程就是y=根号3/9*(x-3)²-根号3
还有交x轴与点A那就令y=0
就是有0=根号3/9*(x-3)²-根号3
解得x=6或x=0(舍去）
于是A（6,0）
,2△POA和△AOB的底OA是共有的要想面积成两倍关系
只要满足高是两倍关系就好了
就是P点y坐标是B点y坐标两倍就是啦
就是yP=2yB,又yB=|-根号3|=根号3
所以yP=2根号3
把yP=2根号3代进去y=根号3/9*(x-3)²-根号3
就是 2根号3=根号3/9*(x-3)²-根号3
解得x=3+3根号3或x=3-3根号3
于是P（3+3根号3，2根号3）或（3-3根号3，2根号3）
3，是不存在的
容易知道∠BOA=30°
所以∠B=120°
要想有这么一点Q
必须作∠OAQ=120°交抛物线于点Q
还要满足AO=AQ
从图可知两条件不能同时满足
于是不存在点Q，使△AQO与△AOB相似

Answer 2

解析式为y=√3/9x²-2√3/3x,
3.
△AOB是等腰△，OB：AB：OA=1：1：√3，OA=6，∠OBA=120°
若存在点Q（X，Y）符合条件，显然OA为底边不可能，∴OA为腰，
①若OQ为另一腰，则∠AOQ=120°，OQ=OA=6，
∴Q（-3，3√3）或（-3，-3√3）
②若AQ为另一腰，则∠OAQ=120°，OA=AQ=6，
∴Q（9，3√3）或（9，-3√3）
代入y=√3/9x²-2√3/3x，
（-3，3√3）和（9，-3√3）符合题意。
∴点Q坐标为（-3，3√3）和（9，-3√3)