Question

计算求解:Sn=(2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1）+…+（n^2+1)/(n^2-1)+[(n+1)^2+1]/[(n+1)^2-1]

解答：
看通项即可
(n²+1)/(n²-1)
=(n²-1+2)/(n²-1)
=(n²-1)/(n²-1)+2/(n²-1)
=1+2/(n-1)(n+1)
=1+1/(n-1)-1/(n+1)
∴ (2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+…+(2005^2+1)/(2005^2-1).
=(1+1/1-1/3)+(1+1/2-1/4)+(1+1/3-1/5)+.............+(1+1/2004-1/2006)
=(1+1+1+...........+1)+(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+.......+1/2004-1/2006)
2004个
=2004+(1+1/2-1/2005-1/2006)
以下化简即可。

Answer 1

解答：
由最后一项化简整理得：
[﹙n＋1﹚²＋1]／[﹙n＋1﹚²－1]
=[n²＋2n＋2]／[n﹙n＋2﹚]
=[n﹙n＋2﹚＋2]／[n﹙n＋2﹚]
=1＋2／[n﹙n＋2﹚]
=1＋[1／n－1／﹙n＋2﹚]
∴以上每一项都可以拆成这种形式：
Sn=[1＋﹙1／1－1／3﹚]＋[1＋﹙1／2－1／4﹚]＋[1＋﹙1／3－1／5﹚]＋[1＋﹙1／4－1／6﹚]＋……＋﹛1＋[1／﹙n－1﹚－1／﹙n＋1﹚]﹜＋﹛1＋[1／n－1／﹙n＋2﹚]﹜
=1×n＋﹛[1＋1／2]＋[－1／﹙n＋1﹚－1／﹙n＋2﹚]﹜
=n＋n／﹙n＋1﹚＋n／[2﹙n＋2﹚]

Answer 2

楼主，我用文字表达，看你明不明白：
分母比分子都大2，是不是？
也就是每一个分数都能提取1+2* 1/(平方数-1)
上题总共有N个这样的分数，全部提取1出来，并且把2拉出来（乘法分配率）

那么Sn=n+2*[1/(平方数-1)的和]

现在会做了没？

还是不会的话， 分解一下吧

1/[(n+1)^2-1]=1/n-1/(n-2) 然后你会发现可以消去中间所有项的

追问

举例详细说明，谢谢

追答

你自己试图分解一下嘛，从第一项开始分解，这都懒？

Answer 3

(n^2+1)/(n^2-1)=(n^2-1+2)/(n^2-1)=1+2/(n^2-1)=1+1/(n-1)-1/(n+1)
n=2时，Sn=1+1-1/3 n=3时，Sn=1+1/2-1/4
则Sn=1+1-1/3+1+1/2-1/4+。。。。。+1+1/（n-1）-1/(n+1)+1+1/n-1/(n+2)=n+1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)=3/2+n-1/(n+1)-1/(n+2)