Question

已知如图在△abc中,bd⊥ac,ce⊥ab,垂足分别为d,e,bd,ce相交于点o [1]∠a=50°，求∠boc [2]∠boc与∠a关系

Answer 1

（1）∠BOC=180°-50°=130
∵∠A=50°，BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ABD=∠ACE=40°
∴∠DBC+∠ECB=180°-（50°+40°+40°）=50°
∴∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=130°
（2）在四边形AEDC中，∠AEO＝∠ADO＝90度
因∠EOD+∠A+∠AEO+∠ADO＝360度
所以∠EOD+∠A＝180度
∠EOD＝∠BOC
∠BOC+∠A＝180度
即∠BOC与∠A互补

Answer 2

简便方法
（1）证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）
∴∠ADB＝∠AEC＝90（垂直定义）
∴∠A+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠ABD=90°-∠A（等式的性质1）
∵∠A=50°（已知）
∴∠ABD=90°-50°=40°（等量代换）
在△BOE中，∠BOC是△BOE的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BEC=40°+90°=130°（三角形内角定理的推论1）

（2）∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）

∴∠ADB＝∠AEC＝90（垂直定义）
∴∠A+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠ABD=90°-∠A（等式的性质1）

在△BOE中，∠BOC是△BOE的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BEC=90°-∠A+90°=180°-∠A（三角形内角定理的推论1）
∴∠A+∠BOC=∠A+180°-∠A=180°（等式的性质1）
∴∠BOC与∠A互补

普通
求证：∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）
∴∠ADB＝∠AEC＝90（垂直定义）
∵∠A+∠DOE+∠ADB+∠AEC＝360（四边形内角和360°）
∵∠A=50°（已知）
∴∠DOE＝360-（∠ADB+∠AEC）-∠A＝360-（90+90）-50＝130（等式的性质1，等量代换）
∵∠BOC＝∠DOE （对顶角相等）
∴∠BOC＝130（等量代换）

（2）求证：∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）
∴∠ADB＝∠AEC＝90（垂直定义）
∵∠A+∠DOE+∠ADB+∠AEC＝360（四边形内角和360°）
∴∠A+∠DOE＝360-（∠ADB+∠AEC）＝360-（90+90）＝180（等式的性质1，等量代换）
∵∠BOC＝∠DOE （对顶角相等）
∴∠A+∠BOC＝180（等量代换）
∴∠BOC与∠A互补