Question

设f（x）在区间【0,1】上连续，在（0，1）内可导，且∫_0^1▒〖f（x）dx〗=0.

证明；存在一点ξ

（0,1），使得2f（ξ）+ξf‘（ξ）=0，这道题怎么求？

Answer 1

由于∫[0→1] f(x) dx = 0，由积分中值定理，存在x1∈(0,1)，使f(x1)=0
设g(x)=x²f(x)，显然g(x)在[0,1]连续，在(0,1)内可导
且g(0)=0，g(x1)=x1²f(x1)=0
因此在[0，x1]内对g(x)用罗尔定理得：
存在ξ∈(0，x1)，使得：g'(ξ)=0
即：2ξf(ξ) + ξ²f '(ξ) = 0
即：2f(ξ) + ξf '(ξ) = 0

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