如图，在平面直角坐标系中，Rt三角形ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，OA：OC=3:4. 20
2）若点P从O点出发，以每秒1个单位的速度沿射线OC运动连接AP，设三角形ACP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
3）若P点的坐标为（0，-4），在x轴上是否存在点Q，使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式，若不存在，请说明理由。
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^2 是平方
1) 设OA=3x (x>0)，则由OA：OC=3：4，得OC=4x
在Rt△ACO中，∠AOC=90°，所以AC=√(AO^2+OC^2)=√((3x)^2+(4x)^2)=5x
在Rt△ABC中，AB为斜边，所以∠ACB=90°=∠AOC，而公共角∠A=∠A
所以△ABC∽△ACO，有AC/AB=AO/AC=3x/(5x)=3/5
所以AC=3AB/5=3*25/5=15，即5x=15，解得x=3，从而OA=3x=9，OC=4x=12
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则BC=√(AB^2-AC^2)=√(25^2-15^2)=20
所以AC=15，BC=20
2) P从O出发，速度为1/秒，则t秒后，OP=t*1=t
由于P在射线OC，即y负半轴上，所以P(0，-t)
由上一小题中OC=12，可得C(0，-12)，所以PC=|-t-(-12)|=|t-12|
上一小题已求得AO=9，所以S=S△ACP=CP*AO/2=9|t-12|/2
由于P在射线OC上，所以OP≥0，即t≥0
且为了使△ACP存在，C、P不可重合，即OP≠OC，t≠12
所以S=9*|t-12|/2 (t≥0且t≠12)
3) PQ解析式为y=-4x/3-4或y=-4x/27-4
由于A、Q在x轴上，C、P在y轴上，所以AQ不可能平行于CP
所以要使A、C、P、Q构成梯形只有AC∥PQ和AP∥CQ两种情况
1°AC∥PQ
OA=9，OC=12，所以A(-9，0)，C(0，-12)，则AC斜率为(-12-0)/(0-(-9))=-4/3
则PQ的斜率也为-4/3，而PQ过P(0，-4)，所以PQ的解析式为y-(-4)=-4/3*(x-0)
即PQ：y=-4x/3-4
2° AP∥CQ'
由于A(-9，0)，P(0，-4)，所以AP的斜率为(-4-0)/(0-(-9))=-4/9
则CQ'的斜率也为-4/9，而CQ'过C(0，-12)，所以CQ'的解析式为y-(-12)=-4/9*(x-0)
令y=0，解得x=-27，所以Q'(-27，0)
由Q'(-27，0)，P(0，-4)，可得PQ的斜率为(-4-0)/(0-(-27))=-4/27
从而PQ'的解析式为y-(-4)=-4/27*(x-0)，即y=-4x/27-4
所以△ABC∽△ACO，因此△ABC的两直角边比AC：BC=OA：OC=3：4
设AC为3X，BC为4X
（3X）²+（4X）²=25²
25X²=625
X=5
AC=3X=15
BC=4X=20
(2)AC=15,OA:OC=3:4
所以OA=9，OC=12
因为P移动速度为1，所以OP=t
当P在线段OC上时,(0≤t＜12)
CP=OC-OP=12-t
S=1/2×OA×CP=1/2×9×(12-t)=-9t/2+54
当P在点C下方时,(t＞12)
CP=OP-OC=t-12
S=1/2×OC×CP=9t/2-54
(3)因为C（0，-12）
设直线AC表达式为Y=KX-12
代入A坐标（-9，0）
-9K-12=0，K=-4/3
①PQ∥AC，K=-4/3
且直线PQ与Y轴交点为P（0，-4）
B=-4
因此PQ表达式为Y=-4X/3-4
②PA∥CQ
简单有△OAP∽△OQC，OA：OQ=OP：OC
9：OQ=4：12
OQ=27
因为Q在X轴上，所以Q（-27，0）
设PQ表达式为Y=KX-4，代入Q坐标
-27K-4=0，K=-4/27
因此PQ表达式为Y=-4X/27-4
