Question

一元三次方程求根公式的推导

尽量详细，不要跳过某些过程，且尽量少用文字

Answer 1

由一元三次方程的完整式X³+a1X²+a2X+a3=0 (1)

和缺项式X³+pX+q=0 (2)可知，

欲将式 (1)转换为式 (2)，

需令y=X-a1/3代入式 (1)，

得(X-a1/3)³+a1(X-a1/3)²+…=0，

化简后，其中含X²的项已经抵消，这样就将问题化为了式(2)的形式了。

令X=u+v，于是将其代入式(2)中，

则(u+v)³+p(u+v)+q=0 （3），
化简易得(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)=0（4）
由于u、v是两个变数，而该处仅置一个方程，

为通过u、v确定X，则需设u³+v³+q=0（5）和(u+v)(3uv+p)=0（6），

由此得u³+v³=-q，u³v³=-p³/27，

依此做一元二次方程Z²+qZ-p³/27=0，

则得u³=-q/2+√(q²/4+p³/27)，v³=-q/2-√(q²/4+p³/27)，
则方程解应为X=[-q/2+√(q²/4+p³/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q²/4+p³/27)]^(1/3)，

因为方程根式还有虚数根存在，化简筛选既可得出三个根解。

追问

顺便说说一元四次吧