Question

已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为45°,若a+λb与λa+b的夹角为钝角,求λ的取值范围

Answer 1

ab=|a||b|cos45°=3√2
则向量a+λb与λa+b的夹角是钝角时有：
cos〈a+λb，λa+b〉=(a+bλ)(λa+b) /|a+bλ||λa+b|

|a+bλ||λa+b|恒>0

∴(a+λb)(λa+b)<0
则
λa²+(1+λ²)ab+λb²<0
4λ+3√2(1+λ²)+9λ<0
3√2λ²+13λ+3√2<0
(3λ+√2)(√2λ+3)<0
-3√2/2<λ<-√2/3
若cos〈a+λb，λa+b〉=-1
a+bλ与λa+b共线且方向相反

若存在k<0
a+bλ=k(λa+b)

a,b不共线
k=λ=-1

综上-3√2/2<λ<-√2/3，λ≠-1

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