Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=4,a(n+2)+2an=3a(n+1),（n∈N*）

1）求证{a(n+1)-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式
2）记数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn>21-2n成立的最小整数n

Answer 1

（1）a(n+2)+2an=3a(n+1)变形为a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an]，因此新数列{a(n+1)-an}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a(n+1)-an=3*2^(n-1)，两边同时减去3*2^n，整理得：a(n+1)-3*2^n=an-3*2^(n-1)=a1-3=-2，所以an=3*2^(n-1)-2

（2）由于an=3*2^(n-1)-2，即Sn-Sn-1=3*2^(n-1)-2，两边同时减去3*2^n，有Sn-3*2^n=Sn-1-3*2^(n-1)-2，所以新数列{Sn-3*2^n}是首项为-5，公差为-2的等差数列，所以Sn-3*2^n=-3-2n，所以Sn=3*2^n-2n-3，因此使得Sn>21-2n成立的最小整数n，即3*2^n-2n-3+2n-21>0，即2^n>8，又n是正整数，因此，n最少为4

Answer 2

关键部分都标出来了哦，看拍的照片吧~_~

祝你好运~_~

Answer 3

由a(n+2)+2an=3a(n+1）得a(n+2)-a(n+1）=2【a(n+1)-an】
所以{a(n+1)-an}是等比数列