Question

）过双曲线X^2/A^2 -Y^2/B^2=1(A>B>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在OF(O为原点）

的垂直平分线上则双曲线的离心率是多少

Answer 1

双曲线X^2/A^2 -Y^2/B^2=1(A>B>0)

那么渐近线方程为 y=±x*B/A

根据条件：垂足恰在OF(O为原点）的垂直平分线上，
即 F 的横坐标 Fx=c/2 ，其中 c 是焦点横坐标
此时的纵坐标是 Fy=±x*B/A =±c/2*B/A

OF=√(Fx^2+Fy^2)=c/2√(1+B^2/A^2)=c/2*e，其中 e 是双曲线的离心率
即 e=2*OF/c

根据直角三角形相似的性质：
Fx:OF=OF:c
即 OF^2=Fx*c=c^2/2
OF/c=1/√2

最终双曲线的离心率
e=2*OF/c=2*1/√2=√2