Question

已知二次型f=x1^2+x3^2+2x1x2-2x2x3 (1)写出此二次型对应的矩阵A

(2)求一个正交变换x=Py，将此二次型化为标准形
(3)判断此二次型是否正定并说明理由。。

求好心人帮忙解答，这一块我还不是很懂。麻烦回答越详细越好！我搞懂了还会加分！

Answer 1

(1) A =
1 1 0
1 0 -1
0 -1 1
(2)
|A-λE| =
1-λ 1 0
1 -λ -1
0 -1 1-λ
c1+c3
1-λ 1 0
0 -λ -1
1-λ -1 1-λ
r3-r1
1-λ 1 0
0 -λ -1
0 -2 1-λ
= (1-λ)[-λ(1-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-λ-2)
= (1-λ)(2-λ)(-1-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,-1.
(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,0,1)^T
(A-2E)X=0 的基础解系为: a2=(1,1,-1)^T
(A+E)X=0 的基础解系为: a3=(-1,2,1)^T
单位化得
b1=(1/√2)(1,0,1)^T
b2=(1/√3)(1,1,-1)^T
b3=(1/√6)(-1,2,1)^T
令P=(b1,b2,b3), 则 X=PY 为正交变换, 且 f=y1^2+2y2^2-y3^2.
(3) 因为正惯性指数为2 (≠3), 所以 二次型不是正定的