Question

质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x=2+6t^2-2t^3

质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x=2+6t^2-2t^3 x单位为m。求质点4秒内所通过路程 详解

Answer 1

先判断质点在4秒内，是做单一方向的直线运动，还是做有折回的直线运动？
质点的速度是　V＝dX / dt＝12* t－6* t^2
显然，t＝0时，V＝0
t＝2秒时，V＝0
而　0≦ t ≦2　秒内，V＞0
t＞2秒内，V＜0
可见，在题目所说的4秒内，前2秒质点是沿X轴正方向运动，在后2秒内质点是沿X轴负方向运动。
将 t＝0代入运动方程，得初始位置是　X1＝2米
将 t＝2秒代入运动方程，得第2秒末的位置是　X2＝10米
将 t＝4秒代入运动方程，得第4秒末的位置是　X3＝－30米
可见，质点在4秒内通过的路程是　L＝（X2－X1）＋（X2－X3）＝（10－2）＋[10－(-30)]＝48米

Answer 2

(1)对运动方程为x=2+6t^2-2t^3求导得
质点运动的速度方程为v=12t－6t^2
令v=0解得t=2
即t=2时v=0
所以0≦ t ≦2，V＞＝0，质点向正向运动
将 t＝0代入运动方程，得初始位置是　X1＝2米
将 t＝2秒代入运动方程，得第2秒末的位置是　X2＝10米
此时质点的路程l1＝X2－X1＝10－2=8米
（2）当t>2时v=12t－6t^2＜0，质点反向运动
将 t＝4秒代入运动方程，得第4秒末的位置是　X3＝－30米

此时质点的路程l2＝X2－X3＝10－(－30)=40米
（3）质点在4秒内通过的路程是l=l1+l2=8+40=48米

Answer 3

t=0时，x=2
x=2+2t^2(3-t)
此时发现t=3时，x=2
则此运动为往复运动，对x进行求导，发现t=2时，出现最大值，
令t=2，则x=10，令t=4，x=-30，
则，质点先正向移动8m（x=10），然后再负向移动40m，（x=-30）。
则，质点在4s内移动48米

Answer 4

把4代入：
x=2+6*16-2*64=-30m

Answer 5

x=2+6t^2-2t^3 x
vx=x'=12t-6x^2

s=∫(12t-6x^2)dt=6t^2-2t^3=-32m
(0->4)