Question

一道微分方程的题目，求秒杀

通解是x+C/cosX，之前的一步是=e^incosx[∫secx*e^-inosxdx
+],我就是不知道这步怎么化简到x+C/cosX的

Answer 1

1. 齐次方程通解  dy/dx - y*tan(x)=0

   dy/dx=y*tan(x)

   dy/y=sin(x)/cos(x)*dx

   dy/y=-dcos(x)/cos(x)

   ln(y)=-ln(cos(x))+C

   y=C/cos(x)

2. 非齐次方程特解为  y=x/cos(x) ，代入检验

3. 非齐次方程的通解为 y=(x+C)/cos(x)

4. 代入y(0)=0的条件后知，C=0，故 y=x/cos(x)
   

Answer 2

求y'-ytanx=secx满足y(0)=0的特解。
解：先求齐次方程y'-ytanx=0的通解：
分离变量dy/y=tanxdx；
积分之得lny=∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx)=-ln(cosx)+lnC₁=ln(C₁/cosx)
于是得y=C₁/cosx；
将C₁换成x的函数u，则有y=u/cosx...........(1)；
两边对x取导数 dy/dx=[cosx(du/dx)+usinx]/cos²x.........(2)
将(1)和(2)代入原式得：[cosx(du/dx)+usinx]/cos²x-(u/cosx)tanx=secx；
即有 [cosx(du/dx)+usinx]/cos²x-(usinx)/cos²x=secx；消去同类项得 (du/dx)/cosx=secx；
secx(du/dx)=secx；故得du=dx，即u=x+C；代入(1)式得通解y=(x+C)/cosx；代入初始条件得C=0，
即得特解为y=x/cosx=xsecx.

Answer 3

你搞反了，应该是

e^-lncosx=1/cosx
∫secx*e^lncosxdx
=∫[secx·cosx]dx
=∫dx
=x＋c
所以
y=1/cosx [x＋c]=【x＋c】/cosx