Question

∫1/(1+2*tanx) dx的不定积分怎么做?要求设tanx=t这个方法

Answer 1

设tanx=t 则 x=arctan t dx=dt/(1+t^2)

原式=∫dt/[(1+2t)(1+t^2)]

下面用待定系数法

设A/(1+2t) +(Bt+C)/(1+t^2)=1/[(1+2t)(1+t^2)]

A(1+t^2)+(Bt+C)(1+2t)=1

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

设tanx=t 则 x=arctan t dx=dt/(1+t^2)

原式=∫dt/[(1+2t)(1+t^2)]
下面用待定系数法
设A/(1+2t) +(Bt+C)/(1+t^2)=1/[(1+2t)(1+t^2)]
A(1+t^2)+(Bt+C)(1+2t)=1
解出ABC，积分，代回原变量即可

Answer 3

设tanx=t,x=arctant,dx=dt/(1+t^2)
原式=∫1/(1+2t)*dt/(1+t^2)
=∫dt/[(1+2t)(1+t^2)]
=4/5∫[1/(1+2t)+1/4(1-2t)/(1+t^2)]dt
=4/5∫dt/(1+2t)+1/5∫dt/(1+t^2)-1/5∫2tdt/(1+t^2)
=2/5ln|1+2t|+1/5arctant-1/5ln(1+t^2)+C
=2/5ln|1+2tanx|+1/5x-1/5[1+(tanx)^2]+C
=2/5ln|cosx+2sinx|+1/5x+C