Question

已知，四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE,连接AE，F是线段AE的中点。（1）如图一

当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：AM+BE=2分之根号2AC；2）如图二，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB，AC于点G，H，连接GC ，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=2分之15倍的根号3，求线段GC的长
这是图

Answer 1

∵ AC=BE，∠ACB=45°
∴ ∠CAF=67.5° ， ∠MAF=22.5°
tan45° = tan(22.5°+22.5°)
= 2tan22.5°/(1- tan²22.5°)
tan²22.5° + 2tan22.5° -1= 0
tan22.5°= -1+√2
AM+BE= (ACsin ∠ACF/ cos ∠MAF) + (AC-BC)
= ( tan22.5° + 1- √2/2) AC
= ( -1+√2 + 1- √2/2) AC
= √2 AC/2

连接OF，OF是三角形AEC中位线，OF∥BE，OF=BE/2
BD=AC=√(BC²+AB²)
AE²=(CE-BC)²+AB²
=[√(BC²+AB²)-BC]²+AB²
= 2AB² + 2BC²+ 2BC√(BC²+AB²)
AF=EF=AE/2
CF²=DF²= CE²-AF²
=(BC²+AB²) - [ 2AB² +2BC²+ 2BC√(BC²+AB²)]/4
= (BC²+AB²)/2 - BC√(BC²+AB²)/2
S△OFD=OF*AB/4=DF*ODsin30°/2
AC*AB/8=DF*AC/8
DF²=AB²
(BC²+AB²)/2 - BC√(BC²+AB²)/2=AB²
(BC²-AB²)² = BC²(BC²+AB²)
(1- AB²/BC²)² = 1+ AB²/BC²
AB²/BC²=3，AB/BC=√3
∠ADB=60°，∠ADF=30°
AC⊥DF
AG=AD*tan∠ADF=AB/3

S四边形GBOH=S△OAB-S△AGH
= √3/4 BC² -√3/12 BC²
= √3/6 BC² = 15√3 /2
BC= 3√5 , AB=3√15，BG=2AB/3=2√15
GC=√(BC²+BG²)= √105

Answer 2

1
连接ME
因为AD=DC
所以矩形ABCD为正方形
所以∠ACB=∠BAC=45°
因为CA=CE，F为AE的中点
所以CF是∠ACB的平分线，CF是AE的中垂线
所以∠EAB+∠ACF=90°-∠BAC=45°
因为∠ACF=∠ACB/2=45°/2
所以∠EAB=∠ACF=45°/2
因为M是中垂线CF上的点
所以∠AEM=∠EAB=45°/2
所以∠MEB=90°-∠EAB-∠AEM=45°
所以BE=BM
所以AM+BE=AM+BM=AB=√2/2AC
2
延长DF交CB的延长线于H

Answer 3

证明：连接ME,⊥ ∥ ≌ ∠ △√∽
四边形ABCD是矩形，AD=DC
四边形ABCD是正方形
∠ACE=∠BAC=45
CA=CE,AF=EF,由等腰三角形三线合一得
FC⊥AE,∠MCB=1/2∠BAC=22.5
FC是AE垂直平分线
AM=ME
∠BEM=2∠MAC
因∠MAC=∠MCB=22.5
∠BEM=2*22.5=45
在RT △MBE中
∠BEM＝45
∠MEB=180-90-45=45
∠BEM＝∠MEB=45
MB=BE
AM+MB=AB=AC
AM+BE=2分之根号2AC；

Answer 4

1 CF与AE垂直，设AB=1算BE 再算AE ，再算AF 就可以算AM了
2 回去给你算

Answer 5