Question

设函数f(x）在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f'(x)≤0，F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)dt 证明：在内有

求解：设函数f(x）在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f'(x)≤0，
F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)dt
证明：在(a,b)内有F'(x)≤0
＜a,x＞分别是积分的上下限，我不会打
谢谢

Answer 1

F'(x) = f(x)/(x-a)-∫<a,x> f(t)dt/(x-a)² = ((x-a)f(x)-∫<a,x> f(t)dt)/(x-a)².
在(a,b)上f'(x) ≤ 0, 故f(x)单调减, f(x) ≤ f(t)对t∈(a,x)成立, 于是∫<a,x> f(t)dt ≥ (x-a)f(x).
(x-a)f(x)-∫<a,x> f(t)dt ≤ 0, 又(x-a)² > 0, 故F'(x) = ((x-a)f(x)-∫<a,x> f(t)dt)/(x-a)² ≤ 0.