Question

高数！！求解答过程！！~！【看图！

以上！求过程QAQ，求解答！！

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Answer 1

2。函数f(x)=(1/2)x²-lnx的单调增区间
解：定义域：x>0；
f'(x)=x-(1/x)=(x²-1)/x=(x+1)(x-1)/x；当1≦x<+∞时f'(x)≧0，故单增区间为：[1，+∞)；故应选D.
5。设F(x)=【a，x】∫xf(t)dt，则F'(x)=
解：F'(x)=【a，x】∫{∂[xf(t)]/∂x}dt+xf(t)(dx/dx)=【a，x】∫f(t)dt+xf(t)，故选C.
9。y=(x-5)³+2
解：令y'=3(x-5)²=0，得驻点x=5；有y''=6(x-5)，当x=5时y''=0，故x=5是拐点，不是极值点，
即该函数有拐点(5，2)，但无极值点，故选C.
12。求极限x➔∞lim[xsin(2/x)+(2/x)sinx]
解：当x➔∞时2/x➔0，因此sin(2/x)∾2/x，
故原式=x➔∞lim[x(2/x)+(2/x)sinx]=x➔∞lim[2+(2/x)sinx]=2。
22。判断f(x)=e^(1/x)(x<0)；f(x)=1(x=0)；f(x)=(1/x)[ln(x²+x)-lnx](x>0)；在x=0处的连续性，若f(x)
在x=0处间断，指出间断点的名称。
解：左极限x➔-0limf(x)=x➔-0lime^(1/x)=0≠f(0)=1；
右极限x➔+0limf(x)=x➔+0lim(1/x)[ln(x²+x)-lnx]=x➔+0lim(1/x)ln[(x²+x)/x]=x➔+0lim(1/x)ln(x+1)
=x➔+0lim1/(x+1)=1=f(0)，故该函数在x=0处左不连续，属第一类间断点(跳跃型间断点)
24。已知方程ln√(x²+y²)=arctan(y/x)确定了y=y(x)，求dy
解：令F(x，y)=ln√(x²+y²)-arctan(y/x)=0
则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-[x/(x²+y²)+(y/x²)/(1+y²/x²)]/[y/(x²+y²)-(1/x)/(1+y²/x²)]=(x+y)/(x-y)
故dy=[(x+y)/(x-y)]dx
27。一曲线过原点，且其上任意一点(x，y)处的切线的斜率为2x+y，求曲线的方程
解：y'=2x+y...(1)，y'-y=2x；先求齐次方程y'-y=0的通解：分离变量dy/y=dx；
积分之得lny=x+lnC₁；故y=C₁e^x；将C₁换成x的函数u，得y=ue^x.....(2)，
对(2)取导数得dy/dx=ue^x+(e^x)(du/dx)......(3)；
将(2)和(3)代入(1)式得：ue^x+(e^x)(du/dx)=2x+ue^x，故得(e^x)(du/dx)=2x，
分离变量得du=2xe^(-x)dx，积分之得u=2∫xe^(-x)dx=-2∫xd[e^(-x)]=-2[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]
=-2[xe^(-x)+e^(-x)]+C=-2(x+1)e^(-x)+C；
代入(2)式得通解为：y=[-2(x+1)e^(-x)+C]e^x=-2(x+1)+Ce^x；
曲线过原点，即有y(0)=0，代入得0=-2+C，故C=2
所以曲线方程为y=-2(x+1)+2e^x.

28。已知直线L：(x-7)/5=(y-4)/1=(z-5)/4与平面π：3x-y+2z-5=0的交点为Mo，且和直线L垂直
的直线方程。
解：将直线L的方向矢量a={5，1，4}；将其方程改写成参数形式：x=5t+7，y=t+4，z=4t+5，
代入平面π的方程得：
3(5t+7)-(t+4)+2(4t+5)-5=22t+22=0，故得t=-1，于是得交点Mo(2，3，1)；
设所求直线L₁的方程为(x-2)/m=(y-3)/n=(z-1)/L，其方向矢量为b={m，n，L}；因为L₁⊥L，故其
点积a●b=5m+n+4L=0，故可取m=6，n=2，L=-8【当然也可取·别的数】
于是得直线方程为(x-2)/6=(y-3)/2=(z-1)/(-8)
16。求定积分【-1，1】∫[xcosx+√(1-x²)]dx
解：原式=【-1，1】[∫xcosxdx+∫√(1-x²)]dx]【第一个积分的被积函数xcosx是奇函数，且积分区间
关于原点对称，故其积分为0；第二个积分的被积函数是偶函数。】
=【0，1】2∫√(1-x²)dx，【令x=sinu，则dx=cosudu，x=0时u=0，x=1时u=π/2；代入】
=【0，π/2】∫2cos²udu=【0，π/2】(1/2)∫(1+cos2u)d(2u)=(1/2)[2u+sin2u]【0，π/2】=π/2.