Question

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x,其中a∈R,(1)会否存在实数a,是的函数y=f(x)在R上单调递增

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x,其中a∈R,
(1)会否存在实数a，是的函数y=f(x)在R上单调递增？若存在求出a的值或取值范围。否则，请说明理由
（2）若a＜0，且函数y=f(x)的极小值为-3/2×e(负二分之三e),求函数的极大值
（3）若a=-1是，不等式(m-n)e≤f(x)≤(m+n)e^(-1)在[-1,1]上恒成立，求z=m^2+n^2的取值范围

急需！！！！！

Answer 1

(1)求导得f'(x)=e^x[x²+x(a+2)-2a²+4a]
若存在实数a,使得函数在R上为增函数,那么对任意x∈R,x²+x(a+2)-2a²+4a≥0恒成立.
因为△=(a+2)²-4(4a-2a²)=9a²-12a+4=(3a-2)²≥0
而要使x²+x(a+2)-2a²+4a＞0恒成立,必有△≤0成立.
因此△=0得a=2/3.
故存在a=2/3符合题意.

(2)令f‘(x)=0得x=-2a或者a-2.
因为a＜0,所以-2a＞a-2.
若x∈(-∞,a-2),则f’(x)＞0.f(x)为增函数
若x∈(a-2,-2a),则f‘(x)＜0,f(x)为减函数
若x∈(-2a,+∞)则f’(x)＞0,f(x)为增函数
故f(x)的极小值为f(-2a)=3ae^-2a
(然后相等求出a值,即可得知极大值,之所以不算是因为你的表达我看的怪怪的)

(3)若a=-1,则f(x)=(x²-x-5)e^x
由(2)可知f(x)在(-∞,-3),(2,+∞)为增函数,在(-3,2)上为减函数.
所以f(x)在[-1,1]上为减函数
因此f(x)的最大值为f(-1)=-3e^(-1),最小值为f(1)=-5e.
所以由-3e^(-1)≤(m+n)e^(-1)得m+n≥-3.
同理可得m-n≤-5.
接下来就是线性规划的问题了,LZ自己画图做吧,我身边没草稿纸,不方便.

追问

3ae^-2a= -3e/2 这个可以求出a吗？e的次方带有a要怎么算？？？

追答

你能把第二问拍张照片吗？说真的第二问的表达我看的不是很明白

追问

能看得清楚吗？

追答

a=-1/2.
一眼就可以看出来,不信自己代进去试试