Question

如图在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于A,与y轴交于B

1.直线AB上是否存在点P,使△AOP是以OA为底边的等边三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
2.若将RT△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式

Answer 1

1) 设P（x，y) 是直线AB上的点, A点坐标为（4，0）
∵OA=4

若AOP是等边三角形，那么就应该有
x²+y²=16
（x-4)²+y²=16
∵y=-x+4

于是得
x²+x²-8x+16=16
2x(x-4)=0
x=0 或 x=4
当 x=0 时，y=4
P点就是B点 三角形AOB是直角三角形
当x=4时，y=0
P点就是A点，不构成三角形

∴不存在满足题设条件的P点，使三角形AOP为等边三角形。

2）根据题意，C点到直线AB的距离等于OC的长度
设C点为（c,0)，那么 |c+0-4|/√2=c
∵0＜c＜4

∴c-4＜0

∴4-c=√2c

(1+√2)c=4
c=4/(1+√2)=
∵B点坐标为（0，4）

于是BC所在直线的解析式是
x(1+√2)/4+y/4=1
即 （1+√2）x+y-4=0

追问

对不起，打错了，是等腰三角形

追答

若AOP是等腰三角形，若OP=AP
那么就应该有
x²+y²=（x-4)²+y²
x²=(x-4)²
x=2
∴y=-2+4=2

于是所求的P点坐标是（2，2）

若OA=OP，则
x²+y²=16
把y=-x+4代入，得
x²+x²-8x+16=16
x(x-4)=0
x=0,或x=4
∴P点与B点重合

若AP=AP，则
(x-4)²+y²=16
把y=-x+4代入，得
(x-4)²=8
x-4=±2√2
x=4±2√2
于是，P 点坐标是（4+2√2，2√2）或（4-2√2，-2√2）