Question

一道数学题，求高手解答

若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素，则实数a的值为_______；若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解，则实数a的值为________.

Answer 1

如果令y=ax²-2x-3

那么1≤ax^2-2x-3≤2就变成1≤y≤2

要想解集中只有一个元素，就必须使抛物线与红色区域只有一个交点，如下图两种情况，就满足

抛物线与区间1≤y≤2只有一个交点啦

第一幅图，抛物线开口向下，于是a<0,还有最大值等于1

也就是【4a×（-3）-（-2）²】/(4a)=1

解得a=-1/4<0满足

第二附图，抛物线开口向上，还有最小值等于2

【4a×（-3）-（-2）²】/(4a)=2

解得a=-1/5<0,但开口向上，所以舍去

综上所述a=-1/4

要想无解

只要最小值>2

即【4a×（-3）-（-2）²】/(4a)>2

解得a<-5

还要最大值小于1

即【4a×（-3）-（-2）²】/(4a)<1

解得

a>-1/4

于是a范围就是

-1/4<a<-1/5

追问

解集中只有一个元素是什么意思

追答

就是像我画的图的黑点

追问

为什么a＞-1/4后又会小于-1/5？

追答

你是想问判断-1/4和-1/5谁大谁小吗

追问

不是，前面不是-5么，怎么又会变成-1/5

追答

哦，历史遗留问题
谢谢纠正，
【4a×（-3）-（-2）²】/(4a)>2
解得a<-1/5
可能当时打漏了

Answer 2

解：(1)∵不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素
∴①a>0时，ax²-2x-3≤2的△=4+20a=0∴a=-1/5不合，舍去
②a<0时，ax²-2x-3≥1的△=4+16a=0∴a=-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素，则实数a的值为-1/4
(2))∵不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解
∴①a>0时，ax²-2x-3≤2的△=4+20a﹤0∴a﹤-1/5不合，舍去
②a<0时，ax²-2x-3≥1的△=4+16a﹤0∴a﹤-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解，则实数a的值为a﹤-1/4

Answer 3

由只有一个元素可知不等式只有一个解，当a=0时不成立，所以ax^2-2x-3=1或ax^2-2x-3=2的Δ=0，即4+16a=0或4+20a=0。
对于第二个，当a=0时不成立，用穿根法解

Answer 4

当a=0时不成立，所以ax^2-2x-3=1或ax^2-2x-3=2的Δ=0，即4+16a=0或4+20a=0。
对于第二个，当a=0时不成立，用穿根法解

Answer 5

-1/4<a<-1/5