Question

线性代数，矩阵，一道选择题

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Answer 1

首先，不难判断 A，B，C 的正确性（以A'代表A的转置，即A^T）
A. A' 的逆矩阵为 [A^(-1)]' 理由是 E = E' = [A A^(-1)]' = [A^(-1)] ' A'
B. A^2 的逆矩阵为[A^(-1)]^2 理由是 E = A A^(-1) = A E A ^(-1) = A [A A^(-1)] A^(-1) = A^2 [A^(-1)] 最后一步用到矩阵乘法的结合律
C. -2A 的逆矩阵为 -1/2 A^(-1) 用到矩阵数乘的性质
D. E + A 可能可逆，也可能不可逆 可逆的例子是 A = E，不可逆的例子是 A = (0 1; 1 0) 此时 E + A = (1 1; 1 1) 两行间线性相关 不可逆

Answer 2

det A = det A'
det A <>0 ==> det A^2>0
det A<0 ==> det-2A>0 ; det A>0 ==> det-2A<0

E is not even defined here, it thus is obviously false.