Question

高一数学 两角和与差的正切

Answer 1

已知向量a=(cosα，sinα)；b=(cosβ，sinβ)；(1).若α-β=π/6，求a●b的值；(2)若a●b=4/5，
α=π/8，求tan(α+β)的值。
解：（1). a●b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos(π/6)=√3/2；
(2) 若a●b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=4/5，则α-β＝arccos(4/5)，α=π/8，β=π/8-arccos(4/5)
故α+β=π/8+π/8-arccos(4/5)=π/4-arccos(4/5)...........(1)
或α-β=-arccos(4/5)，α=π/8，β=α+arccos(4/5)=π/8+arccos(4/5)，
故α+β=π/8+π/8+arccos(4/5)=π/4+arccos(4/5).........(2)
故tan(α+β)=tan[π/4-arccos(4/5)]=[tan(π/4)-tanarccos(4/5)]/[1+tan(π/4)tanarccos(4/5)]
=[1-(3/4)]/[1+(3/4)]=1/7
其中tanarccos(4/5)=[sinarccos(4/5)]/[cosarccos(4/5)]=[√(1-16/25)]/(4/5)=3/4.
或tan(α+β)=tan[π/4+arccos(4/5)]=[tan(π/4)+tanarccos(4/5)]/[1-tan(π/4)tanarccos(4/5)]
=[1+(3/4)]/[1-(3/4)]=7.
即tan(α+β)=1/7或7。

Answer 2

（1）a·b=cosacosβ+sinasinβ=cos(a-β)=cos(π/6)=（根号3）/2
（2）cos(a-β)=0.8即cos(β-a)=0.8
所以tan(β-a)=0.75 或者-0.75
tan2α=1

所以
tan（a+β）=tan((β-a)+(2a))=(tan(β-a)+tan(2a))/(1-tan(β-a)*tan2a)=7或者1/7

Answer 3

1.a·b=cosαcosβ + sinαsinβ=cos(α-β)
∵α-β=π/6
∴a·b=cos(π/6)=√3/2
2.∵a·b=cos(α-β)=4/5
∴sin(α-β)=±√1-cos²(α-β)=±3/5
∴tan(α-β)=±3/4
tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=[tan2α - tan(α-β)]/[1 + tanα×tan(α-β)]=1/7或7

Answer 4

因打不出角，所以用a,b表示
a-b=π/6
ab=cosacosb+sinasinb=cos(a-b)=cosπ/6=1/2
ab=4/5
cos(a-b)=4/5
sin(a-b)=3/5
tan(a-b)=3/4
tan(a+b)=tan[(a-b)+2b]=[tan[(a-b)+tan2b)/{1-tan[(a-b)tan2b)]}
=(3/4+tanπ/4)/(1-3/4tanπ/4)
=(3/4+1)/(1-3/4*1)
=7