Question

(1+根号X）^n的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求指数n的值

Answer 1

解：
即C(n 8)，C(n 9)，C(n 10)成等差数列。
2C(n 9)=C(n 8)+C(n 10)
2×n×(n-1)×...×(n-8)/(1×2×...×9)=n×(n-1)×...×(n-7)/(1×2×...×8)+n×(n-1)×...×(n-9)/(1×2×...×10)
2(n-8)×10=9×10 +(n-8)(n-9)
n²-37n+322=0
(n-14)(n-23)=0
n=14或n=23

Answer 2

解：题意得
2C(n,9)=C(n,8)+C(n,10)
即2n(n-1)...(n-8)/(1×2×..×9)=n(n-1)...(n-7)/(1×2×...×8)+n(n-1)...(n-9)/(1×2×..×10)
2(n-8)/9=1+(n-8)(n-9)/90
n²-37n+322=0
∴n1=23, n2=14