Question

函数f(x)=x^3+bx^2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,g(x)=a*e^x

若存在x0∈（0，2],使g(x0）=f'(x0)成立，求实数a的值

Answer 1

f'(x)=3x^2+2bx+c
3×1^2+2b×1+c=3——2b+c=0
（1,2.5）在f（x）上，1+b+c=2.5
解得b=-1.5，c=3
令h(x)=3x^2-3x+3-a×e^x，h’（x）=6x-3-ae^x
当a≥3时，h‘（x）>0,不会在(0,2]上h（x）>0,故无解；
当a<0时，显然无解
当a∈（0,3）时，f'（0）>g(0)即h（0）>0
f'(2)=9,g(2)=ae^2,若a≥9/e^2则f'(2)≤g（2），即h（2）≤0
∴h（0）h（2）≤0，
当a∈[9/e^2,3)时，存在x0∈（0，2],使g(x0）=f'(x0)成立

Answer 2

x=1,y=2.5
代入函数得b+c=1.5;求导得2b+c=0，则b=-1.5，c=3