f(x)=x^3-x
(1)求f（x）过点（1,0）的切线方程（2）研究过f(x)上任意一点（a，f（a））的切线条数...
(1)求f（x）过点（1,0）的切线方程
（2）研究过f(x)上任意一点（a，f（a））的切线条数 展开
（2）研究过f(x)上任意一点（a，f（a））的切线条数 展开
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(1)
f'(x)=3x²-1
若切点为P(1,0),
则切线斜率k=f'(1)=2
切线方程为y=2(x-1)即y=2x-2
若切点不是P(1,0),设切点为Q(s,t)
则k=t/(s-1)=f'(s)=3s²-1 (s≠1）
t=s³-s
∴（s³-s)/(s-1)=3s²-1
s(s+1)=3s²-1
∴2s²-s-1=0
解得s=1（舍）或s=-1/2
∴切点Q(-1/2,3/8),
切线斜率k=-1/4
∴切线方程为y-3/8=-1/4(x+1/2)
即x+4y-1=0
∴f（x）过点（1,0）的切线方程
y=2x-y-2=0或x+4y-1=0
(2)
以（a，f（a））为切点的一定存在且唯一
切点为(s，t)时，s≠a
k=f(s)-f(a)]/(s-a)=f'(s)
∴(s³-s-a³+a)/(s-a) =3s²-1
[(s-a)(s²+as+a²)-(s-a)]/(s-a)=3s²-1
s²+as+a²-1=3s²-1
2s²-as-a²=0
(s-a)(2s+a)=0
解得s=a 或s=-a/2
∴a=0时，只有1条切线，切点为(a,f(a))
a≠0时，有2条切线，切点为(a,f(a))或(-a/2,f(-a/2))
f'(x)=3x²-1
若切点为P(1,0),
则切线斜率k=f'(1)=2
切线方程为y=2(x-1)即y=2x-2
若切点不是P(1,0),设切点为Q(s,t)
则k=t/(s-1)=f'(s)=3s²-1 (s≠1）
t=s³-s
∴（s³-s)/(s-1)=3s²-1
s(s+1)=3s²-1
∴2s²-s-1=0
解得s=1（舍）或s=-1/2
∴切点Q(-1/2,3/8),
切线斜率k=-1/4
∴切线方程为y-3/8=-1/4(x+1/2)
即x+4y-1=0
∴f（x）过点（1,0）的切线方程
y=2x-y-2=0或x+4y-1=0
(2)
以（a，f（a））为切点的一定存在且唯一
切点为(s，t)时，s≠a
k=f(s)-f(a)]/(s-a)=f'(s)
∴(s³-s-a³+a)/(s-a) =3s²-1
[(s-a)(s²+as+a²)-(s-a)]/(s-a)=3s²-1
s²+as+a²-1=3s²-1
2s²-as-a²=0
(s-a)(2s+a)=0
解得s=a 或s=-a/2
∴a=0时，只有1条切线，切点为(a,f(a))
a≠0时，有2条切线，切点为(a,f(a))或(-a/2,f(-a/2))
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