Question

一道微积分无穷级数的题目！谢谢啦！

Answer 1

由∑{n ≥ 0} C(n)·4^n收敛, 有序列C(n)·4^n有界(其实可以得到C(n)·4^n → 0, 不过用不到).
设|C(n)·4^n| < M对任意n成立, 则|C(n)·(-2)^n| = |C(n)·4^n|/2^n < M/2^n.
而正项级数∑{n ≥ 0} M/2^n收敛, 可知正项级数∑{n ≥ 0} |C(n)·(-2)^n|收敛(比较判别法).
即级数∑{n ≥ 0} C(n)·(-2)^n绝对收敛.

∑{n ≥ 0} C(n)·(-4)^n未必收敛, 反例如C(n) = 1/(n·(-4)^n).
则C(n)·4^n = (-1)^n/n, 有级数∑{n ≥ 0} C(n)·4^n收敛.
但C(n)·(-4)^n = 1/n, 级数∑{n ≥ 0} C(n)·(-4)^n发散.