Question

交错级数的敛散性问题

一个交错级数如果绝对值发散，就可以判断它是条件收敛吗，如果不能，则其原函数的敛散性如何判断

Answer 1

若交错级数收敛但取绝对值后级数发散, 那么该交错级数就是条件收敛的.
条件收敛的定义就是收敛而不绝对收敛.

但是去掉原级数收敛的条件后结论不成立.
例如a(n) = (-1)^n, 取绝对值后发散但该交错级数不收敛.
即便要求a(n) → 0, 也可以有反例:
n为奇数时a(n) = 1/n, n为偶数时a(n) = -1/2^n.

判断交错级数收敛没有什么好用的充要条件, 大概只有Cauchy收敛准则.
至于充分条件, 可以首先尝试Leibuniz判别法: 交错级数满足|a(n)|递减趋于0, 则级数收敛.
然后再试试Abel和Dirichlet判别法.
实在不行再用定义或Cauchy收敛准则(当然如果级数部分和可以求出来就直接作为极限题来做).

Answer 2

不能。
原级数的敛散性一般用莱布尼茨判别法来判断。