Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意xR都有f(x+10)=f(x)+2f(5),若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且f(-3)

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意xR都有f(x+10)=f(x)+2f(5),若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且f(-3)=2013,则f(2013)=...

Answer 1

解答：
函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称
∴ 函数f(x)的图像关于直线y轴对称
（利用图像平移即可，f(x-1)向左平移1个单位即是f(x) ）
即f(x)是偶函数
∵ f(x+10)=f(x)+2f(5)
令x=-5
∴ f(5)=f(-5)+2f(5)
∴ f(5)=f(5)+2f(5)
∴ f(5)=0
∴ f(x+10)=f(x)
即f(x)的周期是10
∴ f(2013)=f(201*10+3)=f(3)=f(-3)=2013