Question

一道数学题目，求详细解，谢。

如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b
（1）求弦CD的长（2）若a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值

Answer 1

不难证明：△CBP∽△ACP
所以有比例关系：AP/CP=CP/BP
即CP²=AP×BP
即（CD/2）²=a×b
∴CD=2√（a×b）

由于a+b=10为定值
∴当a=b时，a×b有最大值
此时，a=b=5，a×b=25

Answer 2

(1),
设圆心O,AP=a,PB=b,AB=AP+PB=a+b,
连接OC,OD,
OC=OD=AB/2=(a+b)/2,
OP=AO-AP=(a+b)/2-a=(b-a)/2,
直角三角形OPC与直角三角形OPD中
OC=OP,OP=OP,CP=√(OC²-OP²)=DP,
CD=CP+DP
=2CP
=2√(OC²-OP²)
=2√{[(a+b)/2]²-[(b-a)/2]²}
=2√{[(a+b+b-a)(a+b-b+a)]/4}
=2√[(2b)(2a)/4]
=2√(ab)

(2),
若a+b=10，即AB=10=2AO=2BO=2R,R=10/2=5,
ab=AP*PB
=(AO-PO)(BO+PO)
=(R-PO)(R+PO)
=R²-PO²
=5²-PO²
=25-PO²
当PO=0时,ab有最大值25.
故a=AO-PO=R-0=5,
a+b=10,
b=10-a=10-5=5.

[或:
当CD过O与AB垂直时,CD有最大值=AB=a+b=10,
因为CD=2√(ab),
所以2√(ab)=10,
ab最大值:ab=25,
又a+b=10,
解方程组:
(10-b)b=25,
b²-10b+25=0,
b=5,
a+b=10,
a=10-b=10-5=5.]

追问

为什么OC=OD=AB/2=(a+b)/2,
你能回答一下吗？

追答

我是复制的······，我也不知道

Answer 3

AP=a PB=b r=(AP+PB)/2=(a+b)/2
CP^2=OC^2-OP^2=ab
CD=2根号ab

a+b=10 最大值时 CP为半径 则CP=5 ab=CP^2=25 a=b=5

Answer 4

（1）先求出圆的半径，连接OC构造出直角三角形，利用勾股定理可求出CP的长，弦CD=2CP；

（2）根据同一个圆中弦不大于直径．

追问

为什么连接了oc，就可以得到以下的关系？

追答

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

Answer 5

CD=2√ab
若a+b=10 那么ab大于等于2√ab（当a和b相等时）
算出ab小于等于25，所以a=b=5

Answer 6

设圆心O,AP=a,PB=b,AB=AP+PB=a+b,
连接OC,OD,
OC=OD=AB/2=(a+b)/2,
OP=AO-AP=(a+b)/2-a=(b-a)/2,
直角三角形OPC与直角三角形OPD中
OC=OP,OP=OP,CP=√(OC²-OP²)=DP,
CD=CP+DP
=2CP
=2√(OC²-OP²)
=2√{[(a+b)/2]²-[(b-a)/2]²}
=2√{[(a+b+b-a)(a+b-b+a)]/4}
=2√[(2b)(2a)/4]
=2√(ab)