Question

求微分方程x^2dy+(y-2xy-x^2)dx=0的通解

Answer 1

解：∵x²dy+(y-2xy-x²)dx=0
==>e^(-1/x)dy/x²+(y-2xy-x²)e^(-1/x)dx/x^4=0 (等式两端同乘e^(-1/x)/x^4)
==>e^(-1/x)dy/x²+y(1-2x)e^(-1/x)dx/x^4=e^(-1/x)dx/x²
==>e^(-1/x)dy/x²+yd[e^(-1/x)/x²]=e^(-1/x)d(-1/x)
==>d[ye^(-1/x)/x²]=d[e^(-1/x)]
==>ye^(-1/x)/x²=e^(-1/x)+C (C是积分常数)
==>ye^(-1/x)=x²[e^(-1/x)+C]
==>y=x²[1+Ce^(1/x)]
∴原方程的通解是y=x²[1+Ce^(1/x)] (C是积分常数)。

追问

第二步到第三步能详细点吗，看不懂

追答

第二步到第三步是应用乘法分配律和移项，这些都是中学时所学过的。