Question

已知数列{ an}的前n项和为Sn,又数列{bn},它们满足关系b1=a,且对任意n属于N*有an+Sn=n,bn+1=an+1-an

求证bn是等比数列

Answer 1

证：
n=1时，a1+S1=2a1=1
a1=1/2
n≥2时，
Sn=n-an
S(n-1)=(n-1)-a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n-an-(n-1)+a(n-1)
2an=a(n-1)+1
2an-2=a(n-1)-1
(an -1)/[a(n-1) -1]=1/2，为定值。
a1-1=1/2-1=-1/2
数列{an -1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
an=1- 1/2ⁿ
b(n+1)=a(n+1)-an=1-1/2^(n+1) -1+1/2ⁿ=1/2^(n+1)
b(n+1)/bn=[1/2^(n+1)]/(1/2ⁿ)=1/2，为定值。
题目有问题，如果是b1=a，则需要规定a≠0，如果是b1=a1，那么b1=1/2
数列{bn}是以a (如果题目写错了，是b1=a1的话，则为b1=1/2)首项，1/2为公比的等比数列。