Question

高一数学三角

在三角形ABC中，已知sin（A-B）cos B+cos（A+B）sinB＞=1，则三角形ABC是____三角形

Answer 1

解：
根据公式：
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

sin（A-B）cos B = [sinA+sin(A-2B)]/2
cos（A+B）sinB = [sin(A+2B)-sinA]/2
因此：
sin（A-B）cos B + cos（A+B）sinB
=[sin(A-2B)+sin(A+2B)]/2 根据公式：sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
=sinAcos2B
≥1
∵sinA≤1
cos2B≤1
因此，只能是：
sinA=1
cos2B=1
显然，cos2B=1中，只能是B=0，这不构成三角形，与题设矛盾，原题必写错！

根据猜想，很有可能原题是：
在三角形ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1

解：
根据公式：
sin(α+β) = sinαcosβ+cosβsinα

sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB
=sin(A-B+B)
=sinA≥1
∵sinA≤1
因此，只能是sinA=1
而：0<A<180°
∴A=90°
因此，三角形是直角三角形！