Question

已知关于X的方程X²-（3m-1）X+2m²-2=0 (1)求证：无论m取何实数值，方程总有实数根

（2）若等腰△ABC的其中一边a=5，另两边b，c恰好是此方程的两根，求△ABC的周长

Answer 1

（1）证明：∵Δ＝[-(3m-1)]²－4×1×(2m²-2)
=9m²-6m+1-8m²+8
=m²-6m+9
=(m-3)²≥0
∴无论m取何实数值，方程总有实数根.

(2)解：①当a＝5为底边时，b=c，则方程的两根相等，
∴Δ=(m-3)²＝0
m=3
此时方程是x²-8x+16=0
解得：x1=x2=4
∴b=c=4
△ABC的周长是5+4+4＝13.
②当a=5为腰长时，设b=a=5，
∵b是此方程的根，则将x=5代入方程X²-（3m-1）X+2m²-2=0 ，得
5²-5(3m-1)+2m²-2=0
解得：m1=7/2，m2=4
当m=7/2时，方程是x²-(19/2)x+(45/2)=0
∵b=5, c是方程的两根，
∴5+c=19/2
c=9/2
△ABC的周长是5+5+(9/2)=29/2.
当m=4时，方程是x²-11x+30=0
∵b=5, c是方程的两根，
∴5+c=11
c=6
△ABC的周长是5+5+6=16.

综上所述，△ABC的周长是13或29/2或16.

Answer 2

X²-（3m-1）X+2m²-2=0当中
a=1,b=3m-1,c=2m²-2
于是根的判别式
△=b²-4ac=(3m-1）²-4×1×（2m²-2）
=9m²-6m+1-8m²+8
=m²-6m+9
=(m-3)²≥0
也就是恒有
△≥0
所以无论m取何实数值，方程总有实数根
（2），另两边b，c恰好是此方程的两根
根据韦达定理会有
b+c=(3m-1)
于是周长C=a+b+c=5+(3m-1)=3m+4

Answer 3

（1）根据B2-4ac可列出式子（3m-1)2-4*1*(2m2-2),最终可化为（m-3）2
因为（m-3）2 不可能为负，所以无论m取何实数值，方程总有实数根
（2）S三角形ABC=a+b+ c=a+（b+c）
根据韦达定理X1+X2=3M-1
所以△ABC的周长为3M+4