Question

已知x,y∈R且3x^2+2y^2=6x,求x+y的最大值与最小值

Answer 1

比较正统的做法如下:
设x+y = t, 联立方程组: 3x²+2y² = 6x, x+y = t.
消元得到一元二次方程3x²+2(t-x)² = 6x.
即5x²-2(2t+3)x+2t² = 0.
有实根当且仅当判别式△ = 4(2t+3)²-40t² = 12(-2t²+4t+3) ≥ 0.
解得1-√(5/2) ≤ t ≤ 1+√(5/2).

如果学了Cauchy不等式, 还可以这样做:
已知3(x-1)²+2y² = 3.
由Cauchy不等式15 = (2+3)(3(x-1)²+2y²) ≥ (√6·(x-1)+√6·y)² = 6(x+y-1)².
即有-√(5/2) ≤ x+y-1 ≤ √(5/2), 也即1-√(5/2) ≤ x+y ≤ 1+√(5/2).
易验证两边的等号都可以成立.