Question

证明：（cos a/1+sin a）-（sin a/1+cos a）=2（cos a-sin a）/1+sin a+cos a 请写出详细步骤 谢谢

证明：（cos a/1+sin a）-（sin a/1+cos a）=2（cos a-sin a）/1+sin a+cos a

Answer 1

建议适当加括号避免歧义:
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα).

比较容易想的办法是逆推.
欲证原式成立, 只要证明
(1+sinα+cosα)·cosα/(1+sinα)-(1+sinα+cosα)·sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα).
由(1+sinα+cosα)/(1+sinα) = cosα/(1+sinα)+1,
以及(1+sinα+cosα)/(1+cosα) = sinα/(1+cosα)+1,
只要证明cos²α/(1+sinα)-sin²α/(1+cosα) = cosα-sinα.
而cos²α = 1-sin²α = (1-sinα)·(1+sinα),
sin²α = 1-cos²α = (1-cosα)·(1+cosα),
故上式左端 = (1-sinα)-(1-cosα) = cosα-sinα = 右端, 即得证.

顺推本质上是一样的, 稍微复杂一点.
左端 = cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
= (cosα·(1+cosα)-sinα·(1+sinα))/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα+cos²α-sin²α)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)²/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= (cosα-sinα)·(cos²α+sin²α+1+2cosα+2sinα+2sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+cosα+sinα+sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+sinα)·(1+cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)/(1+cosα+sinα)
= 右端.
得证.