Question

已知a+b+c=0,1/a+1/b+1/c=-4,那么1/a²+1/b²+1/c²的值为

CASIO 杯 武汉市选拔赛试题 我找不到答案，我要解析、谢谢、悬赏不是问题，我很慷慨的。亲，请在10点前回答我谢谢、

Answer 1

解：a,b,c能做分母
就不可能是0，于是abc≠0
于是a+b+c=0两边同时除以abc就得
1/bc+1/ac+1/ab=0
然后就有
2/bc+2/ac+2/ab=0 ①
令 2/a²+2/b²+2/c²=A ②
于是①+②就等于
2/bc+2/ac+2/ab+2/a²+2/b²+2/c²=0+A
移一下位也就是
(1/b²+2/bc+1/c²)+(1/a²+2/ac+1/c²)+(1/a²+2/ab+1/b²)=A
配方就是
（1/b+1/c)²+(1/a+1/c)²+(1/a+1/b)²=A ③
从
1/a+1/b+1/c=-4, ④ 得到
1/b+1/c=-4-1/a
1/a+1/c=-4-1/b
1/a+1/b=-4-1/c
于是③就变成
（-4-1/a）²+（-4-1/b）²+(-4-1/a)²=A
即（4+1/a）²+（4+1/b）²+(4+1/c)²=A
展开就是
（16+8/a+1/a²）+（16+8/b+1/b²）+（16+8/c+1/c²）=A
就是
48+8（1/a+1/b+1/c)+（1/a²+1/b²+1/c²)=A ⑤
把②，④代进去⑤
就得
48+8×（-4）+A/2=A
也就是
A/2=16
也就是
1/a²+1/b²+1/c²=16

为百度做贡献，用小号附上解法

追问

谢谢你，我已经知道了。真的很详细啊~

追答

哈哈，哦

太多时候发觉已被采纳就不提交答案了，

Answer 2

中间的合并你可以自己做，关键是有耐心观察
1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)
=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(a^2b^2c^2)
<<观察（1/a+1/b+1/c）^2=(a^2b^2+2ab^2c+b^2c^2+2bc^2a+c^2a^2+2ca^b)/(a^2b^2c^2)
比上面多了（2ab^2c+2bc^2a+2ca^b）/(a^2b^2c^2)=2(a+b+c)/(abc)〉〉
所以原式
=（1/a+1/b+1/c）^2-2(a+b+c)/(abc)
=16-0
=16

追问

=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(a^2b^2c^2)
这个怎么来的？
亲我是初二党，太深奥看不懂=-=

追答

通分
公分母是a^2b^2c^2
1/a^2=b^2c^2/a^2b^2c^2
1/b^2=a^2c^2/a^2b^2c^2
1/c^2=a^2b^2/a^2b^2c^2
1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)
=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(a^2b^2c^2)