Question

求下列函数的最大值和最小值 y=x+根号1-x

Answer 1

因为y=x+√(1-x)
所以1-x≥0 <==> 1≥x

方法一：求导，不推荐

方法二：三角函数，可以用

方法三：换元，推荐
设：√(1-x)=a，x=1-a²≤1则y=1-a²+a
因为a≥0
所以y∈(-∞，5/4]

追问

5/4怎么来的

追答

一元二次函数y=1-a²+a知道定义域了，值域就知道了

或1-a²+a=1+1/4-(1/4+a²-a)
=5/4-(a-1/2)²

追问

大神 后面的1-a^2+a=1/4-(1/4+a^2-a) 这步怎么来的！！！

追答

完全平方1/4+a^2-a=(1/2)²+a²-2(1/2)a=(a-1/2)²

还有你打错了1-a^2+a=1/4-(1/4+a^2-a) 该是1-a^2+a=5/4-(1/4+a^2-a)

 

像求一元二次函数最值都会把变量做成完全平方

所以想方设法要把a²-a放进完全平方里a²-a=a²-a+(1/2)²-1/4=(a-1/2)²+1/4

 

 

不过我不喜欢这样觉得麻烦，我更喜欢作图加公式

Answer 2

可以先求导y'=1-1/2乘以根号1/(1-x)，令y'>0,得x<3/4，y'<0,得3/4<x<1，所以最大值是x=3/4时的值，最小值是x=1的值；

Answer 3

看图，没有最小值，但最大值很难求

追问

怎么画函数图像

追答

用几何画板

追问

啥东西

追答

Answer 4

x=3/4时候，有最大值，即5/4，该函数值没有最小值，具体算法如下：

定义 根号(1-x) =t, x<=1的，所以t>=0
重新整理函数式，变成：
y=-(t-1/2)^2 + 5/4，当t=1/2时候，有最大值，即x=3/4时，最大值5/4，没有最小值