Question

已知数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0 (n∈N),Sn=|a1|+|a2|+,,,|an|,求Sn

Answer 1

解：（1）an+2-2an+1+an=0∴an+2-an+1=an+1-an
∴{an+1-an}为常数列，
∴{an}是以a1为首项的等差数列，
设an=a1+（n-1）d，a4=a1+3d，
∴d=2-8/3=-2，
∴an=10-2n．
（2）∵an=10-2n，令an=0，得n=5．
当n＞5时，an＜0；当n=5时，an=0；当n＜5时，an＞0．
∴当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）=T5-（Tn-T5）=2T5-Tn，Tn=a1+a2+…+an．
当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn．
所以Sn=9n-n^2(n≤5）
和Sn=n^2-9n+40(n>5)

Answer 2

a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an
所以a(n+1)-an=an-a(n-1)=...=a2-a1为常数
即{an}为等差数列
d=(a4-a1)/3=-2
an=10-2n
对Sn的求解需要分情况讨论
（1）当n≤5时，an≥0，
Sn=a1+...+an=10n-n(n+1)=-n^2+9n（等差数列前n项和）
（2）当n>5时，an<0，
Sn=S5-a6-a7-...-an
=-(a1+...+an)+2S5
=n^2-9n+2*20
=n^2-9n+40