Question

函数 f(x)=lnx 1.求证lnx≤x-1

2.若关于x的方程. lnx=(1/2k)x^2+1在(0,+∞)上有解. 求实数k的取值范围.

Answer 1

函数 f(x)=lnx
1.求证lnx≤x-1
2.若关于x的方程. lnx=(1/2k)x^2+1在(0,+∞)上有解. 求实数k的取值范围.

(1)证明：∵函数 f(x)=lnx
设g(x)=lnx-x+1==>令g’(x)=1/x-1=0==>x=1
g’’(x)=-1/x^2<0
∴函数g(x)在x=1处取极大值，g(1)=0
∴lnx≤x-1成立
(2)解析：∵关于x的方程lnx=(1/2k)x^2+1在(0,+∞)上有解
设函数h(x)= lnx-(1/2k)x^2-1==>h’(x)=1/x-kx=0==>x=√k/k
h’’(x)=-1/x^2-k
∴当k>=0时，h’’(x)<0，函数g(x)在x=√k/k 处取极大值，h(√k/k)= -1/2lnk-3/2
令-1/2lnk-3/2>=0==>k<=e^(-3)
当k<0时，h’(x)>0，函数g(x)单调增，∴方程lnx=(1/2k)x^2+1在(0,+∞)上必有一解

综上，方程lnx=(1/2k)x^2+1在(0,+∞)上有解，实数k的取值范围为k<=e^(-3)