Question

在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,且a2sin2B+b2sinA2=2abcosAcosB.

1、试判断该三角形的形状；2、若cosB=4（1-cosA），求a;b;c的值。

Answer 1

因为a/sinA=b/sinB
所以asinB=bsinA，即a^2sinB^2=b^2sinA^2
a^2sinB^2+b^2sinA^2=2b^2sinA^2=2abcosAcosB
bsinA^2=acosAcosB
bsinA=（a/sinA）*cosAcosB=（b/sinB）*cosAcosB
sinAsinB=cosAcosB
cos(A+B)=0
A+B=90°
所以三角形ABC为直角三角形
2.cosB=a/c,cosA=b/c
a/c=4(1-b/c)
a=4c-4b
又有a^2+b^2=c^2
16c^2-32bc+17b^2=c^2
15c^2-32bc+17b^2=0
(15c-17b)(c-b)=0
由于c>b,故有15c=17b
a=4c-4b=4c-4*15/17c=8/17c
故a:b:c=8/17c:15/17c:c=8:15:17

Answer 2

题目中是sin2B和sinA方的意思吗？

追问

sin平方B和sin平方A

追答

1、把边换成角
sin2Asin2B+sin2Bsin2A=2sinAsinBcosAcosB
两边同时消去得 sinAsinB=cosAcosB
sinAsinB-cosAcosB=0
-cos(B+A)=0
因为在三角形中，所以B+A=90°
所以是直角三角形