Question

已知正整数a,b,c满足等式a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc=8,求a+b+c的值.

Answer 1

解：a²b＋ab²＋b²c＋bc²＋c²a＋ca²＋2abc＝8
﹙a²b＋ab²＋abc﹚＋﹙b²c＋bc²＋abc﹚＋﹙c²a＋ca²﹚＝8
ab﹙a＋b＋c﹚＋bc﹙a＋b＋c﹚＋ac﹙a＋c﹚＝8
﹙a＋b＋c﹚﹙ab＋bc﹚＋ac﹙a＋c﹚＝8
b﹙a＋b＋c﹚﹙a＋c﹚＋ac﹙a＋c﹚＝8
﹙a＋c﹚﹙ab＋b²＋bc＋ac﹚＝8
﹙a＋c﹚[a﹙a＋b﹚＋c﹙a＋b﹚]＝8
﹙a＋c﹚﹙a＋b﹚﹙b＋c﹚＝8＝1×1×8＝1×2×4＝2×2×2
∵ a、b、c均为正整数，
∴ ﹙a＋b﹚、﹙a＋c﹚、﹙b＋c﹚均不可能是1
只有：8＝2×2×2这种结果。
∴ a＋b＝2
a＋c＝2
b＋c＝2
三式相加得：a＋b＋c＝3.

Answer 2

正整数a,b,c
则a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc≥1+1+1+1+1+1+2=8

因此
a2b=ab2=b2c=bc2=c2a=ca2=abc=1

解得
a=b=c=1

a+b+c=3

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