Question

（2005•安徽）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，…）．

（2005•安徽）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设bn=an+2-32an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．

解：
（Ⅰ）
设等比数列通式an=a1q（n-1）

根据Sn＞0，显然a1＞0，
当q不等于1时，前n项和sn=a1(1-qn)1-q
所以 (1-qn)1-q＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
当q=1时 仍满足条件
综上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）
∵bn=an+2-32an+1
∴bn=an+2-32an+1
=anq2-32anq
=12an（2q2-3q）
∴Tn=12（2q2-3q）Sn
∴Tn-Sn=12Sn（2q2-3q-2）=12Sn（q-2）（2q+1）
又因为Sn＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，当-1＜q＜-12或q＞2时，Tn-Sn＞0，即Tn＞Sn；
当-12＜q＜2且q≠0时，Tn-Sn＜0，即Tn＜Sn；
当q=-12，或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn．

问：
第二问中为什么
bn=12an（2q2-3q）推出
Tn=12（2q2-3q）Sn？

Answer 1

解：
∵bn=12an（2q2-3q）
∴Tn=b1+b2+……+bn
=12a1（2q2-3q）+12a1（2q2-3q）+……+12an（2q2-3q）
=12（2q2-3q）（a1+a2+……+an)
=12（2q2-3q）Sn （Sn=a1+a2+……+an）

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