Question

设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3/S6=1/3,则S6/S12等于

为什么S9-S3=3S3

Answer 1

S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3+(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=S3+S3+9d=2S3+9d(d为公差)

也就是S6=2S3+9d ，又由题干可知，S3=1/3*S6代入可得，S6=27d

同样方法，S12=S6+a7+a8+a9+a10+a11+a12=S6+S6+6d*6=2S6+36d=2*27d+36d=90d
所以S6/S12=27d/90d=3/10

Answer 2

基本的解题思路：
假设等差数列{an}的第一个元素为a1，等差的差为x，即an=a1+(n-1)*x，则：
Sn=n*a1+[n*(n-1)/2]*x；
S3/S6={3*a1+[3*(3-1)/2]*x}/{6*a1+[6*(6-1)/2]*x}=1/3，可得a1=2*x；
S6/S12={6*a1+[6*(6-1)/2]*x}/{12*a1+[12*(12-1)/2]*x}={27*x}/{90*x}=3/10。
如果对等差数列非常熟悉，可以有很简单、快速的解题方法。想用快速方法，必须通过题海战术，好好锻炼，直到你看到这些题目，大脑里立马就能反映出这些公式。
S3=3*a1+x*3*(3-1)/2=3*a1+3*x=9*x；
S9-S3=9*a1+x*9*(9-1)/2-(3*a1+3*x)=6*a1+33*x=45*x；
所有S9-S3=5*S3。