Question

若a²（b-c)+b²（c-a）+c²（a-c）=0，求证a，b，c，中至少有两数相等。

若a²（b-c)+b²（c-a）+c²（a-b）=0，求证a，b，c，中至少有两数相等。

Answer 1

1、题目错误，应为
a²（b-c)+b²（c-a）+c²（a-b）=0
证明：看成a的二次函数
（b-c)a²+(c²-b²)a+b²c-c²b=0
然后再分解因式
（b-c)（a-b）（a-c）=0

所以a，b，c，中至少有两数相等

2、证明：设两奇数为2m+1和2n+1，m和n都是整数
则（2m+1）²-（2n+1）²=（2m+1+2n+1）（2m+1-2n-1）=4（m-n）（m+n+1）
因为（m+n+1）-（m-n）=2n+1为奇数
所以（m+n+1）与（m-n）必然是以个奇数一个偶数（两偶数或者两奇数之差均为偶数）
所以4（m-n）（m+n+1）能被8整除

Answer 2

（1）证:设a,b,c各不相等。
∵ a²（b-c)+b²（c-a）+c²（a-b）
=a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

(a-b)(c-a)(c-b)=0

∴a=b或 c=a或 c=b
和假没不符。
所以，a，b，c，中至少有两数相等.
（2）设任意两个相邻奇数分别为：2n-1,2n+1则
(2n-1)²-(2n+1)²=4n²-4n+1-4n²-4n-1=-8n
所以8n一定能被8整除

Answer 3

题目是不是打错了，式子的第三项是不是应该为c²（a-b）？否则无法证明;
补充问题中的命题可以用数学归纳法证明