Question

初三函数题

如图7,函数y=-x^2+2x+3的图像与x轴交于点A,B,点C是这个图像在x轴上方图像上的一个动点(与点A,B不重合),点D是OC的中点,联结BD并延长交AC于点E
(1)求点A,B的坐标
(2)求CE:EA的值
(3)设点D关于x轴的对称点是D1,四边形ADBD1是菱形,求此时直线AC的解析式

Answer 1

如图7,函数y=-x^2+2x+3的图像与x轴交于点A,B,点C是这个图像在x轴上方图像上的一个动点(与点A,B不重合),点D是OC的中点,联结BD并延长交AC于点E
(1)求点A,B的坐标
(2)求CE:EA的值
(3)设点D关于x轴的对称点是D1,四边形ADBD1是菱形,求此时直线AC的解析式
(1)解析：如图示：∵函数y=-x^2+2x+3，令x^2-2x-3=0==>x1=-1,x2=3
∴A(-1,0)，B(3,0)
(2)解析：设C(x0,y0) （-1<x0<3）y0=-x0^2+2x0+3
∴D(x0/2,y0/2)
设BD解析式为y=kx+b3k+b=0；y0/2=kx0/2-3k==>k=y0/(x0-6)
∴y=y0/(x0-6)x-3y0/(x0-6)
设AC解析式为y=kx+b-k+b=0；y0=kx0+k==>k=y0/(x0+1)
∴y=y0/(x0+1)x+y0/(x0+1)
令y0/(x0-6)x-3y0/(x0-6)=y0/(x0+1)x+y0/(x0+1)
解得x=(4x0-3)/7，y=4y0
∴E((4x0-3)/7,4y0/7)
过C作CF⊥x轴于F，过E作EG//X轴交CF于G
∴CE/EA=CG/GF=(yc-yg)/(yg)=(yc-ye)/(ye)yc-ye=y0-4y0/7=3y0/7
∴CE/EA=(yc-ye)/(ye)=3/4
(3)解析：∵D关于x轴的对称点是D1,四边形ADBD1是菱形
∴D,D1必在抛物线的对称轴x=1上
∴D(1,y)==>C(2,2y)
∵C在抛物线上,f(2)=-4+4+3=3
∴D(1,3/2)，C(2,3)
AC解析式：y=y0/(x0+1)x+y0/(x0+1)==>y=3/(2+1)x+3/(2+1)=x+1

Answer 2

（1）
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
X1=3, x2=-1
A(-1,0) B(3.0)