Question

概率论！！求解！！

某实验室在器皿中繁殖成k个细菌概率为（5^k）*（e^-5）/k！，k=0123……并设所繁殖的每个细菌为甲类细菌的概率是0.4，为乙类细菌的概率是0.6，求下列事件的概率：
（1）器皿中所繁殖的全部是乙类菌的概率
（2）已知所繁殖的全部是乙类菌，求细菌个数为3的概率

Answer 1

（1）.
P=∑（5^k*e^(-5)/k!*(3/5)^k）-(5^0)*e^(-5)/0! //需减去未繁殖出细菌的概率既k=0时的概率
=e^(-5)*∑（3^k/k!）-e^(-5)
=e^(-5)*e^3-e^(-5)
=e^(-2)-e^(-5)
（2）.
P=[(5^3)*e^(-5)/3!]*(3/5)^3/[e^(-2)-e^(-5)]

=9/（2（e^3-1））

追问

为什么 ∑（3^k/k!）=e^3 呀？？？

追答

e^x的麦克劳林公式展开为：
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+o(x^n)
(参见高等数学或数学分析 泰勒公式 这一节)
故：
∑（0到正无穷）（3^k/k!）=1+3^1/1+3^2/2!+3^3/3!+...+3^n/n!=e^3

Answer 2

（1）
P=求和｛5^k*e^(-5)/k!*(3/5)^k｝
=e^(-5)*求和｛3^k/k!｝
=e^(-5)*e^3
=1/e^2
(2)
[(5^3)*e^(-5)/3!]*(3/5)^3/[1/e^2]
=9/2e^3