Question

一道关于二项式定理的题

（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中系数最大的项

Answer 1

（1+2x）n的展开式中第6项C(n,5)(2x)^5与第7项C(n,6)(2x)^7
C(n,5)2^5=C(n,6)2^7
1=(n-5)/3
n=8
相邻两项系数之比=C(8,k)(2^k)/C(8,k-1)*2^(k-1)=(8-k+1)*2/k>=1
16-2k+2>=k
k<=6
说明 第6项与第7项的系数最大。最大项为 C(8,5)(2x)^5与C(8,6)(2x)^6
即56*32 x^5与 56*32 x^7

Answer 2

T6=C(n,5)*2^5*x^5
T7=C(n,6)*2^6^x^6
第6项与第7项的系数相等
∴C(n,5)*2^5=C(n,6)*2^6
∴C(n,5)=2C(n,6)
∴n!/[5!(n-5)!]=2*n!/[6!(n-6)!]
∴ (n-5)!=3(n-6)!
∴n-5=3,
∴n=8
Tr+1=C(8,r)2^r*x^r
由 C(8,r-1)*2^(r-1)≤ C(8,r)2^r （系数递增求r范围）
得 8!/[(r-1)!(9-r)!]≤2*8!/[r!(8-r)!]
1 /(9-r)≤2/r ==>r≤18-2r ==>r≤6
即第1，2，......,6，系数递增，第6项与第7项的系数相等
第8项开始系数递减
∴展开式中系数最大的项第6项与第7项
为 56*32 x^5与 56*32 x^6

Answer 3

明天告诉你，现在没有灯光